题文

已知直线与y轴交于点C，与x轴交于点A， （1）求线段AC的长度； （2）若抛物线过点C、A，且与x轴交于另一点B，将直线AC沿y轴向下平移m个单位长度，若平移后的直线与x轴交于点D，与抛物线交于点N（N在抛物线对称轴的左边），与直线BC交于点E．    ① 是否存在这样的m，使得△CAD是以AC为底的等腰三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；   ② 在直线AC平移的过程中，是否存在m值，使得△CDE的面积最大， 若存在，请求出m值，若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）当时，y=4， ∴C（0，4）   当y=0时，，∴A（-4，0）   在Rt△AOC中，OA=OC=4，∠AOC=90°，   ∴AC=； （2）①抛物线经过点A、C，   则 解得    ∴抛物线所对应的函数关系式为；    ∵△CAD是以AC为底的等腰三角形，   ∴点D在AC的垂直平分线上，此时点D与原点重合，即D（0，0）    ∴ 则平移后的直线所对应的函数关系式为y=x    ∵点N是抛物线与直线y=x的交点   ∴设点N（a，a），   则，解得   ∵点N在抛物线对称轴的左侧，   ∴N  ② 设△CDE的面积为S   在中，令y=0，   解得x= -4或x=2， ∴B（2，0）， AB=6   当点D在点B的左侧时，即当时（如图①）   平移后的直线为；   当y=0时，x=m-4    ∴ ∴BD=2-(m-4)=6-m；   过点E作EF⊥AB于点F，由DE∥AC，得∠BDE =∠CAD    ∴ △BDE∽△BAC    ∴   ∴   ；  解得；    ∴               ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线m=3，    ∵顶点（3，3）的横坐标在范围 内    ∴当，S有最大值为3；    当点D在点B的右侧时，即当时（如图②）    平移后的直线所对应的函数关系式为，   当y=0时，x=   ∴D（，0）   ∴BD= 过点E作EG⊥AB于点G    由DE∥AC，得∠BDE =∠CAD   ∴△BDE∽△BAC ∴ ，解得    ∴           ∴抛物线开口向上，对称轴为m=3   ∵在抛物线对称轴的右侧，S随着的增大而增大。    ∴当时， S没有最大值   综上得，在直线AC平移的过程中，不存在m值，使得△CDE的面积最大。

据专家权威分析，试题“已知直线与y轴交于点C，与x轴交于点A，（1）求线段AC的长度；（2）若..”主要考查你对  二次函数的最大值和最小值，求一次函数的解析式及一次函数的应用，求二次函数的解析式及二次函数的应用，平移  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：