题文

已知：关于x的一元二次方程x2+（n-2m）x+m2-mn=0①

（1）求证：方程①有两个实数根； （2）若m-n-1=0，求证方程①有一个实数根为1； （3）在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a，当x=2时，关于m的函数y1=nx+am与y2=x2+a（n-2m）x+m2-mn的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线l与y1、y2的图象分别交于点C、D，当l沿AB由点A平移到点B时，求线段CD的最大值。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）证明：△=（n-2m）2-4（m2-mn）=n2 ∵n2≥0 ∴△≥0 ∴方程①有两个实数根；
（2）由m-n-1=0，得m-n=1， 当x=1时，等号左边=1+n-2m+m2-mn=1+n-2m+m（m-n）=1+n-2m+m=1+n-m=0 等号右边=0 ∴左边=右边 ∴x=1是方程①的一个实数根；
（3）由求根公式，得x=，x=m或x=m-n ∵m-n-1=0， ∴m-n=1，n=m-1， ∴a=m 当x=2时，y1=2n+m2=2（m-1）+m2=m2+2m-2， y2=22+2m（n-m-m）+m（m-n）=4+2m（-1-m）+m=-2m2-m+4 如图，当l沿AB由点A平移到点B时，CD=y2-y1=-3m2-3m+6=-3（m+）2+ 由y1=y2，得m2+2m-2=-2m2-m+4，解得m=-2或m=1 ∴mA=-2，mB=1 ∵-2<-<1， ∴当m=-时，CD取得最大值。

据专家权威分析，试题“已知：关于x的一元二次方程x2+（n-2m）x+m2-mn=0①（1）求证：方程①有两..”主要考查你对  二次函数的最大值和最小值，一元二次方程的定义，一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的最大值和最小值一元二次方程的定义一元二次方程根与系数的关系

考点名称：二次函数的最大值和最小值

• 二次函数的最值：
  1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y_最小值=；
  当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y_最大值=。
  也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
  2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x₂ 时，，当x=x₁ 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x₁时，，当x=x₂时 。

考点名称：一元二次方程的定义

• 定义：
  只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
  
  一元二次方程的一般形式：
  它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中 ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。