题文

如图，平行四边形ABCD中，AD=8，CD=4，∠D=60°，点P与点Q是平行四边形ABCD边上的动点，点P以每秒1个单位长度的速度，从点C运动到点D，点Q以每秒2个单位长度的速度从点A→点B→点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，点P与点Q同时出发，设运动时间为t，△CPQ的面积为S。

（1）求S关于t的函数关系式； （2）求出S的最大值； （3）t为何值时，将△CPQ以它的一边为轴翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）①当0<t≤2时，如图（1），过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E， ∵∠BCE=∠D=60°，∴BE=4， ∵CP=t， ∴； ②当2<t≤4时，如图（2），CP=t，BQ=2t-4，CQ=8-（2t-4）=12-2t， 过点P作PF⊥BC，交BC的延长线于点F ∵∠PCF=∠D=60° ， ∴， S=；
（2）当0<t≤2时，t=2时，S有最大值4； 当时，， t=3时，S有最大值， 综上所述，S的最大值为；
（3）当0<t≤2时，△CPQ不是等腰三角形，∴不存在符合条件的菱形 当2<t≤4时，令CQ=CP，即t=12-2t，解得t=4， ∴当t=4时，△CPQ是等腰三角形， 即当t=4时，以△CPQ一边所在直线为轴翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形。

据专家权威分析，试题“如图，平行四边形ABCD中，AD=8，CD=4，∠D=60°，点P与点Q是平行四..”主要考查你对  二次函数的最大值和最小值，求一次函数的解析式及一次函数的应用，求二次函数的解析式及二次函数的应用，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的最大值和最小值求一次函数的解析式及一次函数的应用求二次函数的解析式及二次函数的应用等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：二次函数的最大值和最小值

• 二次函数的最值：
  1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y_最小值=；
  当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y_最大值=。
  也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
  2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x₂ 时，，当x=x₁ 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x₁时，，当x=x₂时 。