题文

已知x，y，z满足 x+2y-z=15 x-y+2z=6 （1）求170x+170y-28的值； （2）当x，y，z为何值时， 78 x2+y2+z2 有最大值？并求出此时的最大值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）①×2+②，得3x+3y=36， ∴x+y=12， ∴170x+170y-28=170（x+y）-28=170×12-28=2012； （2）由 x+2y-z=15 x-y+2z=6 得x+y=12，y-z=3， ∴x=12-y，z=y-3， ∴x2+y2+z2=（144-24y+y2）+y2+（y2-6y+9）=3y2-30y+153=3（y-5）2+78≥78， 当x2+y2+z2=78时， 78 x2+y2+z2 有最大值，最大值为 78 78 =1，此时y=5，x=7，z=2．

据专家权威分析，试题“已知x，y，z满足x+2y-z=15x-y+2z=6（1）求170x+170y-28的值；（2）当..”主要考查你对  二次函数的最大值和最小值  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的最大值和最小值

考点名称：二次函数的最大值和最小值

• 二次函数的最值：
  1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y_最小值=；
  当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y_最大值=。
  也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
  2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x₂ 时，，当x=x₁ 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x₁时，，当x=x₂时 。