题文

已知1996个自然数a1，a2，…a1996两数的和能被它们的差整除，现设n=a1?a2?a3?…?a1996． 求证：n，n+a1，n+a2，…，n+a1996这1997个数仍满足上述条件．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：由于自然数是有序的，因此我可以把他们排列从小到大，不妨设a1＜a2＜a3…＜a1996， ①证明a1，a2…a1996任取3个，一定有一个是偶数． 假设任取三个ai，aj，ak，它们全部都是奇数，那么他们可以表示成 ai=a，aj=a+2b，ak=a+2c， 其中a，b，c为正整数，且a为奇数，b＜c，我这样做因为他们肯定相隔偶数． 由已知 aj-ai|ai+aj， ak-ai|ai+ak， ak-aj|aj+ak， 得到 b|a+b，即b|a， c|a+c，即c|a， 故c-b|a+b+c， 因此b，c都是奇数，那么a+b+c是3个奇数相加，因此也是奇数， 然而c-b是两个奇数相减，因此是偶数，那么不可能一个偶数c-b能除尽奇数a+b+c，因此得到矛盾，所以不可能都是奇数． ②从a1，…a1996任取两个ai，aj，其中ai＜aj，下面证明aj-ai|n． 由aj-ai|ai+aj，可得aj-ai|（ai+aj）2=ai2+2aiaj+aj2=（aj-ai）2+4aiaj 由于aj-ai|（aj-ai）2所以aj-ai|4aiaj 在①里面，可见任何3个数中，必有一个是奇数，因此a1，a2，…a1996至少有2个偶数不等于ai，aj， 因此，显然4aiaj|n，所以aj-ai|n ③从n，n+a1，n+a2，…n+a1996任取两个n+ai，n+aj，其中ai＜aj 他们两个之差=aj-ai 之和=2n+ai+aj 因为 aj-ai|n（②中证明的） 和 aj-ai|ai+aj（已知条件） 所以aj-ai|2n+ai+aj， 这样证明了任取两个数属于{n，n+a1，n+a2…n+a1996}，他们之和能被他们之差整除．

据专家权威分析，试题“已知1996个自然数a1，a2，…a1996两数的和能被它们的差整除，现设..”主要考查你对  有理数除法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。