题文

如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的正半轴上，∠ODB=30°，OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线y=ax2+x+c与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）。 （1）求抛物线的解析式； （2）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长； （3）点P为△ABO内的一个动点，设m=PA+PB+PO，请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时，线段AP的长。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）过E作EG⊥OD于G， ∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D， ∴△BOD∽△EGD， ∵点B（0，2），∠ODB=30°得OB=2， ∵ E为BD中点， ∴EG/BO=DE/DB=GD/OD =1/2， ∴EC=1，， ∴ ∴点E的坐标为（，1） ∵抛物线经过B（0，2）、E（，1） ∴ 可得a=-1/2， ∴抛物线的解析式为，
（2） ∵抛物线与x轴相交于A、F，且A在F的左侧， ∴A点的坐标为， ∴在△AGE中，∠ACE=90°，  过点O作OK⊥AE于K， 可得△AOK∽△AEG， ∴OK/AO=EG/AE， ∴ ∴ ∴  ∴△OMN是等边三角形， ∴∠NMO=60°， ∴ ∴，或；
（3）m可以取到的最小值为， 当m取得最小值时，线段AP的长为。

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的正..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，相似三角形的性质，解直角三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用相似三角形的性质解直角三角形

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。