题文

在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MN∥BC，将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P。 （1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？ （2）当MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）连接AP，交MN于O， ∵将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P， ∴OA=OP，AP⊥MN，AN=PN，AM=PM， ∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC，AO⊥MN， ∴， ∵BC=6， ∴MN=3， ∴当MN=3时，点P恰好落在BC上；

（2）过点A作AD⊥BC于D，交MN于O， ∵MN∥BC， ∴AO⊥MN， ∴△AMN∽△ABC， ∴， ∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC， ∴∠ADB=90°，BD=BC=3， ∴AD=4， ∴， ∴AO=x， ∴S△AMN=， 当AO≤AD时， 根据题意得：S△PMN=S△AMN， ∴△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为S△AMN， ∴， ∴当AO=AD时，即MN=BC=3时，y最小，最小值为3； 当AO＞AD时， 连接AP交MN于O，则AO⊥MN， ∵MN∥BC， ∴AP⊥BC，△AMN∽△ABC，△PEF∽△PMN∽△AMN， ∴， 即：， ∴AO=x， ∴， ∴EF=2x-6，OD=AD-AO=4-x， ∴y=S梯形MNFE=（EF+MN）·OD=×（2x-6+x）×（4x）=-（x-4）2+4， ∴当x=4时，y有最大值，最大值为4， 综上所述：当x=4时，y的值最大，最大值是4。

据专家权威分析，试题“在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，轴对称，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用等腰三角形的性质，等腰三角形的判定轴对称相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。