题文

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，∠BAD+∠CDA=90°，且tan∠BAD=2，AD在x轴上，点A的坐标（-1，0），点B在y轴的正半轴上，BC=OB。 （1）求过点A、B、C的抛物线的解析式； （2）动点E从点B（不包括点B）出发，沿BC运动到点C停止，在运动过程中，过点E作EF⊥AD于点F，将四边形ABEF沿直线EF折叠，得到四边形A1B1EF，点A、B的对应点分别是点A1、B1，设四边形A1B1EF与梯形ABCD重合部分的面积为S，F点的坐标是（x，0）。 ①当点A1落在（1）中的抛物线上时，求S的值； ②在点E运动过程中，求S与x的函数关系式。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）△ABO中∠AOB=90°tanA==2， ∵点A坐标是（-1，0）， ∴OB=2， ∴点B的坐标是（0，2）， ∵BC∥AD，BC=OB， ∴点C的坐标是（2，2）， 设抛物线表达式为y=ax2+bx+2， ∵点A（-1，0）和点C（2，2）在抛物线上， ∴　 ∴解得 ∴y=-；

（2）①当点A1落在抛物线上，根据抛物线的轴对称性可得A1与点A关于对称轴对称，由沿直线EF折叠，所以点E是BC中点，重合部分面积就是梯形ABEF的面积， ∴S=S梯形ABEF=（BE+AF）×BO=2x+1； ②当0＜x≤1时，重合部分面积就梯形ABEF的面积， 由题得AF=x+1，BE=x， S=S梯形ABEF=（BE+AF）×BO=2x+1， 当1＜x≤2时，重合部分面积就是五边形形A1NCEF的面积， 设A1B1交CD于点N，作MN⊥DF于点N，CK⊥AD于点K， △NMA1∽△DMN， ， ∵∠BAO=∠MA1N，tan∠BAO=2， ∴tan∠MA1N=2， ∴MA1=MN，MD=2MN， ∵tan∠BAO=2，∠BAO+∠CDK=90°， ∴tan∠CDK=， 在△DCK中，∠CKD=90°，CK=OB=2，tan∠CDK=， ∴DK=4，OD=6， ∵OF=x，A1F=x+1， ∴A1D=OD-OF-A1F=5-2x，FD=6-x， ∴MN=（5-2x）， ∴S=S梯形DCEF-

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，∠BAD+∠CDA..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，轴对称，解直角三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用轴对称解直角三角形

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；