如图,已知二次函数y=ax2+2x+c(a>0)图象的顶点M在反比例函数y=上,且与x轴交于AB两点。(1)若二次函数的对称轴为x=-,试求a,c的值;(2)在(1)的条件下求AB的长;(3)若二次函数-九年级数学
题文
如图,已知二次函数y=ax2+2x+c(a>0)图象的顶点M在反比例函数y=上,且与x轴交于AB两点。 (1)若二次函数的对称轴为x=-,试求a,c的值; (2)在(1)的条件下求AB的长; (3)若二次函数的对称轴与x轴的交点为N,当NO+MN取最小值时,试求二次函数的解析式。 |
答案
解:(1)∵二次函数的对称轴为x=-, ∴-, 解得a=2, ∵二次函数y=ax2+2x+c(a>0)图象的顶点M在反比例函数y=上, ∴顶点为(-,c-), ∴(c-)=-3, 解得c=-, ∴二次函数的解析式为; (2)∵二次函数的解析式为; ∴令y=0,=0; 解得x=, ∴AB=; (3)根据对称轴x=-, 当x=-时,y=-3a, ∴NO+MN=+3a≥2, 当3a=时NO+MN最小,即3a2=1时,a=, ∴此时二次函数的解析式为。 |
据专家权威分析,试题“如图,已知二次函数y=ax2+2x+c(a>0)图象的顶点M在反比例函数y=上..”主要考查你对 求二次函数的解析式及二次函数的应用,二次函数的图像 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
求二次函数的解析式及二次函数的应用二次函数的图像
考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
- 求二次函数的解析式:
最常用的方法是待定系数法,根据题目的特点,选择恰当的形式,一般,有如下几种情况:
(1)已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两点式;
(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式。
二次函数的应用:
(1)应用二次函数才解决实际问题的一般思路:
理解题意;
建立数学模型;
解决题目提出的问题。
(2)应用二次函数求实际问题中的最值:
即解二次函数最值应用题,设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题,然后按求二次函数最值的方法求解。
求最值时,要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式:
①一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为 [,]
把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。②顶点式:
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,当x=h时,y最值=k。
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。
解:设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2。
注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况:
当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到;
当h<0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到;
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象;
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
当h<0,k>0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
当h<0,k<0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
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