题文

已知抛物线C：y=ax2+bx+c（a<0）过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），A为抛物线C的顶点． （1）如图（1），若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式； （2）如图（2），若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，求抛物线C、C′的解析式； （3）在（2）的条件下，设A′为抛物线C′的顶点，求抛物线C或C′上使得的点P的坐标。

（1）                                         （2）

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）连接AB， ∵A点是抛物线C的顶点，且C交x轴于O、B， ∴AO=AB， 又∵∠AOB=60°， ∴△ABO是等边三角形， 过A作AD⊥x轴于D， 在Rt△OAD中，易求出OD=2，AD=， ∴ 顶点A的坐标为（2，）， 设抛物线C的解析式为（a≠0）， 将O（0，0）的坐标代入，可求a=， ∴抛物线C的解析式为； （2）过A作AE⊥OB于E， ∵抛物线C：， 过原点和B（4，0），顶点为A， ∴OE=OB=2， 又∵直线OA的解析式为y=x， ∴AE=OE=2， ∴点A的坐标为（2，2）， 将A、B、O的坐标代入中，易求a=-， ∴抛物线C的解析式为， 又∵抛物线C、C′关于原点对称， ∴抛物线C′的解析式为； （3）作A′B的垂直平分线l，分别交A′B、x轴于M、N（n，0）， 由前可知，抛物线C′的顶点为A′（-2，-2）， 故A′B的中点M的坐标为（1，-1）， 作MH⊥x轴于H，易证△MHN∽△BHM， 则，即， ∴， 即N点的坐标为（，0）， ∵直线l过点M（1，-1）、N（，0）， ∴直线l的解析式为， 解得，， ∴在抛物线C上存在两点使得， 其坐标分别为 P1（，），P2（，）， 解得，， ∴在抛物线C′上也存在两点使得，其坐标分别为P3（-5+，17-3），P4（-5-，17+3）。

据专家权威分析，试题“已知抛物线C：y=ax2+bx+c（a<0）过原点，与x轴的另一个交点为B（..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，图形旋转，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用图形旋转相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：