题文

如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正半轴上，BC∥OA，OC=AB，tan ∠BAO=，点B的坐标为（7，4）。 （1）求点A、C的坐标； （2）求经过点O、B、C的抛物线的解析式； （3）在第一象限内（2）中的抛物线上是否存在一点P，使得经过点P且与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）过点G作CE⊥x轴于E，过点B作BD⊥x轴于D，如图， ∵点B的坐标为（7，4）， ∴BD=4，OD=7， ∵ ∴AD=3， ∴AO=10，A（10，0）， 又∵梯形OABC是等腰梯形，OE=AD=3， ∴C（3，4）；
（2）设过点O、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）， 由O（0，0）、B（7，4）、C（3，4）， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为；
（3）∵EO=AD=3，OA=10， ∴BC=DE=4， ∴梯形的面积为， 过点C与等腰梯形一腰平行的直线把梯形分成面积为16的平行四边形和面积为12的三角形，因此与梯形一腰平行且把梯形分成面积相等的两部分的直线一定与边BC交于异于点C 的一点， ①若过点P的直线平行于OC，过点P作PM∥OC，分别与OA、BC相交于M、N，则平行四边形OMNC的面积等于梯形面积的一半，S=OM·CE=14， ∴， ∴ ∵点P在抛物线上， 设点（x>0）则 ∠PMA=∠COA， ∴， 解得：（舍去），x2 ∴点P的横坐标为； ②若过点P的直线平行于AB， ∵的对称轴为x=5，由对称性可得点P的横坐标为， 综上所述，在抛物线上存在一点P，使得经过点P且与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分，点P的横坐标为或。

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，梯形，梯形的中位线，解直角三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用梯形，梯形的中位线解直角三角形

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。