题文

如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC，CD是⊙O'的切线，AD⊥CD于点D，tan∠CAD=，抛物线过A，B，C三点。

（1）求证：∠CAD=∠CAB； （2）①求抛物线的解析式； ②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由； （3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形，若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）证明：连接O′C， ∵CD是⊙O′的切线， ∴O′C⊥CD， ∵AD⊥CD， ∴O′C∥AD， ∴∠O′CA=∠CAD， ∵O′A=O′C， ∴∠CAB=∠O′CA， ∴∠CAD=∠CAB； （2）①∵AB是⊙O′的直径， ∴∠ACB=90°， ∵OC⊥AB， ∴∠CAB=∠OCB， ∴△CAO∽△BCO， ∴，即OC2=OA·OB， ∵tan∠CAO=tan∠CAD=， ∴AO=2CO， 又∵AB=10， ∴OC2=2CO（10-2CO）， ∵CO＞0， ∴CO=4，AO=8，BO=2， ∴A（-8，0），B（2，0），C（0，4）， ∵抛物线过A，B，C三点， ∴c=4，由题意得，解之得，∴； ②设直线DC交x轴于点F，易证△AOC≌△ADC， ∴AD=AO=8， ∵O′C∥AD， ∴△FO′C∽△FAD， ∴， ∴8（BF+5）=5（BF+10）， ∴BF=，F（，0）， 设直线DC的解析式为y=kx+m，则，即， ∴， 由得顶点E的坐标为， 将E代入直线DC的解析式中， 右边==左边， ∴抛物线顶点E在直线CD上； （3）存在，P1（-10，-6），P2（10，-36）。

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，平行线的性质，平行线的公理，全等三角形的性质，梯形，梯形的中位线，直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用平行线的性质，平行线的公理全等三角形的性质梯形，梯形的中位线直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。