题文

如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（-1，0）、，0（0，0），将此三角板绕原点O顺时针旋转90°，得到△A′B′O。 （1）如图，一抛物线经过点A、B、B′，求该抛物线的解析式； （2）设点P是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形PBAB′的面积达到最大时点P的坐标及面积的最大值。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵抛物线过点A（-1，0）， 设抛物线的解析式为（a≠0）， 又∵抛物线过，将坐标代人抛物线的解析式得：，a=-1， ∴ 即满足条件的抛物线的解析式为；
（2）如图， 连接BB'，PB，PB'， ∵P为第一象限内抛物线上一动点， S四边形PBAB'=S△ABB'+S△PBB′， 且△ABB'的面积为定值， ∴S四边形PBAB'最大时，S△PBB′必须最大， ∵BB'的长度为定值， ∴S△PBB'最大时点P到BB'的距离最大， 即将直线BB'向上平移到与抛物线有唯一交点时，P到BB'的距离最大， 设与直线BB'平行的直线l的解析式为y=-x+m， 联立 得x2-x+m-=0， 令 解得， 此时直线l的解析式为： 所以 解得 ∴直线l与抛物线的唯一交点坐标为， 设l与y轴交于E，则， 过B作BF⊥l于F， 在Rt△BEF中，∠FEB=45°， ∴ 过P作PG⊥ BB'于G， 则P到BB'的距离， 此时四边形PBAB'的面积最大， ∴S四边形PBAB'的最大值=，   。

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（-1，0）、..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。