题文

在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点。 （1）求此抛物线的解析式； （2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。（注意：本题中的结果可保留根号）

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）设抛物线的解析式为：， 由题意得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：；
（2）存在， 抛物线的顶点坐标是， 作抛物线和⊙M（如图）， 设满足条件的切线l与x轴交于点B，与⊙M相切于点C 连接MC， 过C作CD⊥x 轴于D， ∵MC=OM=2，∠CBM=30°，CM⊥BC， ∴∠BCM=90°，∠BMC=60°，BM=2CM=4， ∴B（-2，0） 在Rt△CDM中，∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°， ∴DM=1，CD= ∴ C（1，） 设切线l的解析式为：， 点B、C在l上，可得： 解得： ∴切线BC的解析式为： ∵点P为抛物线与切线的交点 由解得：， ∴点P的坐标为：， ∵ 抛物线的对称轴是直线x=2， 此抛物线、⊙M都与直线x=2成轴对称图形， 于是作切线l关于直线x=2的对称直线l′（如图）得到B、C关于直线的对称点B1、C1， l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线x=2的对称点：，即为所求的点， ∴这样的点P共有4个：，，，。

据专家权威分析，试题“在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点。..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，轴对称，直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用轴对称直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,