题文

如图，已知抛物线经过定点A（1，0），它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点，P点关于x轴的对称点为P′，过P′作x轴的平行线交抛物线于B、D两点（B点在轴右侧），直线BA交y轴于C点，按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值： （1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA 与CB的比值； （2）若P点坐标为（0，m）时（m为任意正实数），线段CA与 CB的比值是否与（1）所求的比值相同？请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）设抛物线的解析式为， 　 抛物线经过A（1，0）， ∴， ∴， ∵P′、P关于x轴对称，且P（0，1）， ∴P′点的坐标为（0，-1）， ∵P′B∥x轴， ∴B点的纵坐标为-1， 由解得，， ∴ B（，-1）， ∴P'B=， ∵OA∥P'B， ∴△CP'B∽△COA， ∴； 　　 　 （2）设抛物线的解析式为　　 ∵抛物线经过A（0，1）， ∴， ∴，　　　　　 ∵P′B∥x轴， ∴B点的纵坐标为-m， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴P'B=， 同（1）得， 　　 ∴m为任意正实数时，。

据专家权威分析，试题“如图，已知抛物线经过定点A（1，0），它的顶点P是y轴正半轴上的一个..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；