题文

如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B在x正半轴上，且∠ABO=30度，动点P在线段AB上从点A向点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒，在x轴上取两点M，N作等边△PMN。

（1）求直线AB的解析式； （2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值； （3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上，设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）直线AB的解析式为：； （2）∵∠AOB=90°，∠ABO=30°， ∴AB=2OA=8， ∵AP=t， ∴BP=8-t， ∵△PMN是等边三角形， ∴∠MPB=90°， ∵tan∠PBM=， ∴PM=， 当点M与点O重合时， ∵∠BAO=60°， ∴AO=2AP， ∴， ∴t=2； （3）①当0≤t≤1时，见图2， 设PN交EC于点H， 重叠部分为直角梯形EONG， 作GH⊥OB于H， ∵∠GNH=60°，GH=2， ∴HN=2， ∵PM=8-t， ∴BM=16-2t， ∵OB=12， ∴ON=（8-t）-（16-2t-12）=4+t， ∴OH=ON-HN=4+t-2=2+t=EG， ∴S=（2+t+4+t）×2=2t+6， ∵S随t的增大而增大， ∴当t=1时，Smax=8； ②当1＜t＜2时，见图3， 设PM交EC于点I，交EO于点F，PN交EC于点G， 重叠部分为五边形OFIGN， 作GH⊥OB于H， ∵FO=4-2t， ∴EF=， ∴EI=2t-2， ∴ ∵， ∴当时，S有最大值，； ③当t=2时，MP=MN=6，即N与D重合， 设PM交EC于点I，PD交EC于点G， 重叠部分为等腰梯形IMNG，见图4， ， 综上所述：当0≤t≤1时，； 当1＜t＜2时，； 当t=2时，， ∵， ∴S的最大值是。

据专家权威分析，试题“如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B在x正半轴上，且..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，解直角三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用解直角三角形

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用