题文

设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．若a，b，c均为整数，且c= 1 3 ab-（a+b），求满足条件的直角三角形的个数．

题型：解答题  难度：中档

答案

由勾股定理得，c2=a2+b2． 又∵c= 1 3 ab-（a+b），得c2=[ 1 3 ab-(a+b)]2= 1 9 (ab)2- 2 3 ab(a+b)+(a+b)2． 即a2+b2= 1 9 (ab)2- 2 3 ab(a+b)+a2+2ab+b2． 整理得，ab-6（a+b）+18=0，即（a-6）（b-6）=18， ∵a，b均为正整数，不妨设a＜b， 可得 a-6=1  b-6=18  或 a-6=2  b-6=9  或 a-6=3  b-6=6  ， 可解出 a=7  b=24  c=25  或 a=8  b=15  c=17  或 a=9  b=12  c=15 . ， ∴满足条件的直角三角形有3个． 故答案为：3．

据专家权威分析，试题“设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．若a，b，c均为..”主要考查你对  二元多次（二次以上）方程（组），勾股定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二元多次（二次以上）方程（组）勾股定理

考点名称：二元多次（二次以上）方程（组）

• 定义：二元二次方程组即至少有一个二元二次方程的方程组，另一个是不高于二次的二元整式方程
  二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。
  二元二次方程组的一般解法是代入法：
  在（1）中先将x看作常量，把（1）看作关于x的一元二次方程，用y表示x后，代入（2）中，得到关于y的方程。因为在解（1）的结果中，可能得到y是x的双值函数，所以可能得到两个方程，也可能得到无理方程，无理方程有理化后，最高可能得到四次方程，但仍有代数解。