题文

方程xyz=2009的所有整数解有 ______组．

题型：填空题  难度：中档

答案

这个2009可以看做是（整数）1×1×2009，1×7×287，7×7×41，1×49×41． 其中又有三个未知数一正两负和三正两种情况， 先说xyz在三正的情况下，有三个可能的解集，分别为1×1×2009，1×2009×1，2009×1×1， 在三未知数一正两负的情况下原本的 x、y、z就会出现3种可能； 如1×1×2009=1×（-1）×（-2009）=（-1）×（-1）×2009=（-1）×1×（-2009）， 所以在一正两负的情况下原本的三个可能的解集就会衍生出9个可能的解集． 那么得出结论，1×1×2009这样的分组共有12个可能的解集， 在7×7×41时，也有类似的12个可能的解集． 但当1×7×287时，因为三个数值均不同，所以和上面两组不同，在三正的情况下有6个可能的解集，两正一负的情况下又有18个可能的解集． 同理1×49×41也有24个可能的解集． 综上所述，xyz=2009共有72组整数解．

据专家权威分析，试题“方程xyz=2009的所有整数解有______组．-数学-”主要考查你对  二元多次（二次以上）方程（组）  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二元多次（二次以上）方程（组）

考点名称：二元多次（二次以上）方程（组）

• 定义：二元二次方程组即至少有一个二元二次方程的方程组，另一个是不高于二次的二元整式方程
  二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。
  二元二次方程组的一般解法是代入法：
  在（1）中先将x看作常量，把（1）看作关于x的一元二次方程，用y表示x后，代入（2）中，得到关于y的方程。因为在解（1）的结果中，可能得到y是x的双值函数，所以可能得到两个方程，也可能得到无理方程，无理方程有理化后，最高可能得到四次方程，但仍有代数解。