题文

如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，连接BD，CD． （1）求证：BD=CD； （2）若∠ABC的平分线交AD于点E，求证：CD=DE．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：（1）∵AD为直径，AD⊥BC， ∴ BD = CD ， ∴BD=CD． （2）∵ BD = CD ， ∴∠BAD=∠CBD， ∵∠ABC的平分线交AD于点E， ∴∠ABE=∠CBE， ∵∠DBE=∠CBE+∠CBD，∠BED=∠ABE+∠BAD， ∴∠BAD+∠ABE=∠CBD+∠EBF， 即∠BED=∠EBD， ∴BD=DE， ∴CD=DE．

据专家权威分析，试题“如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，连接BD，CD．（1）..”主要考查你对  角平分线的定义 ，垂直于直径的弦，圆心角，圆周角，弧和弦  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

角平分线的定义 垂直于直径的弦圆心角，圆周角，弧和弦

考点名称：角平分线的定义

• 角的平分线的定义：
  一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

• 角平分线的性质：
  角平分线上的点，到角两边的距离相等
  定理：
  角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  逆定理：
  到角两边的距离相等的点在角平分线上。

考点名称：垂直于直径的弦

• 垂径定理：
  垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
  注：
  （1）定理中的直径过圆心即可，可以是直径、半径、过圆心的直线或线段；
  （2）此定理是证明等线段、等角、垂直的主要依据，同时也为圆的有关计算提供了方法和依据。
  
  垂径定理的推论：
  推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
  推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
  推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
  推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
  推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
  (证明时的理论依据就是上面的五条定理)
  但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:

  一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论
  1.平分弦所对的优弧
  2.平分弦所对的劣弧
  （前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）
  3.平分弦 (不是直径)
  4.垂直于弦
  5.经过圆心

考点名称：圆心角，圆周角，弧和弦

• 圆的定义:
  在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。
  
  弧：
  圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
  弧用符号“⌒”表示以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
  优弧：大于半圆的弧（多用三个字母表示）；
  劣弧：小于半圆的弧（多用两个字母表示）
  圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 
   弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
  推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
  
  圆心角：
  顶点在圆心的角叫做圆心角。
  
  圆周角：
  顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
  圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。

• 圆心角特征识别:
  ①顶点是圆心；
  ②两条边都与圆周相交。

  计算公式:
  ①L(弧长)=n/180Xπr（n为圆心角度数，以下同）；
  ②S(扇形面积) = n/360Xπr²；
  ③扇形圆心角n=（180L）/（πr）（度）。
  ④K=2Rsin(n/2) K=弦长；n=弦所对的圆心角，以度计。

  圆心角定理:
  圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
  理解：(定义）
  （1）等弧对等圆心角
  （2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．
  （3）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．
  （4）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．
  推论：
  在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等

  与圆周角关系:
  在同圆或等圆中,同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角。
  定理证明：分三种情况讨论，始终做直径COD，利用等腰三角形等腰底角相等，外角等于两内角之和来证明。
  
  圆周角定理推论：
  圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。
  ①圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
  ②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。