题文

如图，已知∠AOB=90°，在∠AOB的外部画∠BOC，然后分别画出∠AOC与∠BOC的角平分线OM和ON． （1）下面的两个图形是否都符合题意？若符合，选择其中的一个图形，求∠MON的度数； （2）若∠AOB=α，且当∠AOB+∠BOC＜180°时，∠MON的度数是多少？当∠AOB+∠BOC＞180°时，∠MON的度数又是多少？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）两个图形是否都符合题意． 对于图①，有∠MON=∠MOC-∠NOC= 1 2 ∠AOC- 1 2 ∠AOB=45°； 对于图②，有∠MON=∠MOC+∠NOC= 1 2 ∠AOC+ 1 2 ∠BOC= 1 2 （∠AOC-∠BOC）= 1 2 （360°-90°）=135°； （2）当∠AOB+∠BOC＜180°时（如图1）， ∵∠AOB=α， ∴∠AOC=α+∠BOC， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， ∴∠MOC= 1 2 ∠AOC= 1 2 α+ 1 2 ∠BOC，∠NOC= 1 2 ∠BOC ∴∠MON=∠MOC-∠NOC=（ 1 2 α+ 1 2 ∠BOC）- 1 2 ∠BOC= 1 2 α． ∴∠MON= 1 2 α； 当∠AOB+∠BOC＞180°时（如图2）， ∵∠AOB=α，∠AOC与∠BOC的角平分线为OM和ON， ∴∠MON= 1 2 （∠AOC+∠BOC） = 1 2 （360°-α） =180°- 1 2 α． ∴∠MON=180°- 1 2 α．

据专家权威分析，试题“如图，已知∠AOB=90°，在∠AOB的外部画∠BOC，然后分别画出∠AOC与∠B..”主要考查你对  角平分线的定义   等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

角平分线的定义

考点名称：角平分线的定义

• 角的平分线的定义：
  一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

• 角平分线的性质：
  角平分线上的点，到角两边的距离相等
  定理：
  角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  逆定理：
  到角两边的距离相等的点在角平分线上。