题文

如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数； （2）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为______秒（直接写出结果）； （3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）已知∠AOC=60°， ∴∠BOC=120°， 又OM平分∠BOC， ∠COM= 1 2 ∠BOC=60°， ∴∠CON=∠COM+90°=150°； （2）延长NO， ∵∠BOC=120° ∴∠AOC=60°， 当直线ON恰好平分锐角∠AOC， ∴∠AOD=∠COD=30°， 即顺时针旋转300°时NO延长线平分∠AOC， 由题意得，10t=300° ∴t=30， 当NO平分∠AOC， ∴∠NOR=30°， 即顺时针旋转120°时NO平分∠AOC， ∴10t=120°， ∴t=12， ∴t=12或30； （3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°， ∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON， ∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°， 所以∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM-∠NOC=30°．

据专家权威分析，试题“如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一直角..”主要考查你对  角平分线的定义   等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

角平分线的定义

考点名称：角平分线的定义

• 角的平分线的定义：
  一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

• 角平分线的性质：
  角平分线上的点，到角两边的距离相等
  定理：
  角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  逆定理：
  到角两边的距离相等的点在角平分线上。