题文

如图所示：点A和点C分别在射线BF和射线BE上运动（点A和点C不与点B重合），BF⊥BE，CD是∠ACB的平分线，AM是△ABC在顶点A处的外角平分线，AM的反向延长线与CD交于点D．试回答下列问题： （1）若∠ACB=30°，则∠D=______°，若∠ACB=70°，则∠D=______°   （2）设∠ACD=x，用x表示∠MAC的度数，则∠MAC=______° （3）试猜想，点A和点C在运动过程中，∠D的度数是否发生变化？若变化，请求出变化范围；若不变，请给出证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠ACD= 1 2 ∠ACB， ∵AM是△ABC在顶点A处的外角平分线， ∴∠MAC= 1 2 ∠FAC， 根据三角形外角性质，∠MAC=∠ACD+∠D， ∠FAC=∠ACB+∠ABC， ∴∠ACD+∠D= 1 2 （∠ACB+∠ABC）， ∴ 1 2 ∠ACB+∠D= 1 2 ∠ACB+ 1 2 ∠ABC， ∠D= 1 2 ∠ABC， ∵BF⊥BE， ∴∠ABC=90°， ∴∠D= 1 2 ×90°=45°， 即∠D的大小与∠ACB无关，等于 1 2 ∠ABC， 当∠ACB=30°，∠D=45°，∠ACB=70°，∠D=45°； （2）根据（1）∠D=45°， ∵∠ACD=x， ∴在△ACD中，∠MAC=∠ACD+∠D=（45+x）°； （3）不变．理由如下： ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠ACD= 1 2 ∠ACB， ∵AM是△ABC在顶点A处的外角平分线， ∴∠MAC= 1 2 ∠FAC， 根据三角形外角性质，∠MAC=∠ACD+∠D， ∠FAC=∠ACB+∠ABC， ∴∠ACD+∠D= 1 2 （∠ACB+∠ABC）， ∴ 1 2 ∠ACB+∠D= 1 2 ∠ACB+ 1 2 ∠ABC， ∠D= 1 2 ∠ABC， ∵BF⊥BE， ∴∠ABC=90°， ∴∠D= 1 2 ×90°=45°． 故答案为：（1）45，45；（2）（45+x）．

据专家权威分析，试题“如图所示：点A和点C分别在射线BF和射线BE上运动（点A和点C不与点B重..”主要考查你对  三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：