题文

有一种等腰三角形，经过它的一个顶点的一条直线把这个等腰三角形分成了两个小三角形，这两个小三角形也是等腰三角形，则这种等腰三角形的顶角度数是______（至少要写出两种情况）

题型：填空题  难度：偏易

答案

设该等腰三角形的底角是x； ①当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC=BC，AD=CD=BD， 设∠A=x°， 则∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°， ∴∠BCD=∠B=x°， ∵∠A+∠ACB+∠B=180°， ∴x+x+x+x=180， 解得x=45， 则顶角是90°； ②如图，AC=BC=BD，AD=CD， 设∠B=x°， ∵AC=BC， ∴∠A=∠B=x°， ∵AD=CD， ∴∠ACD=∠A=x°， ∴∠BDC=∠A+∠ACD=2x°， ∵BC=BD， ∴∠BCD=∠BDC=2x°， ∴∠ACB=3x°， ∴x+x+3x=180，x=36°，则顶角是108°． ③当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形，则有AC=BC，AB=AD=CD， 设∠C=x°， ∵AD=CD， ∴∠CAD=∠C=x°， ∴∠ADB=∠CAD+∠C=2x°， ∵AD=AB， ∴∠B=∠ADB=2x°， ∵AC=BC， ∴∠CAB=∠B=2x°， ∵∠CAB+∠B+∠C=180°， ∴x+2x+2x=180， x=36°， 则顶角是36°． ④当∠A=x°，∠ABC=∠ACB=3x°时，也符合，如图 AD=BD，BC=DC， ∠A=∠ABD=x，∠DBC=∠BDC=2x， 则x+3x+3x=180°， x= 180° 7 因此等腰三角形顶角的度数为36°或90°或108°或 180° 7 ．

据专家权威分析，试题“有一种等腰三角形，经过它的一个顶点的一条直线把这个等腰三角形..”主要考查你对  三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内角和定理等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：三角形的内角和定理

• 三角形的内角和定理及推论：
  三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
  推论：
  （1）直角三角形的两个锐角互余。
  （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
  （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。