题文

x，y为正整数，且两个分数之和 x2-1 y+1 + y2-1 x+1 也是整数，求证：这两个分数都是整数．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：两个数的和为自然数，则这两个数要么都是分数，要么都是整数（在此题中为自然数）； 对于 x2-1 y+1 与 y2-1 x+1 的积有： x2-1 y+1 × y2-1 x+1 =（x-1）×（y-1）， 由于x与y是自然数，那么 （x-1）×（y-1）也是自然数， 对于两个分数的乘积，可写成：（a+ 1 m ）×（b+ 1 n ）=ab+ a n + b m + 1 mn ，其中a、b、m、n均为整数， 由于 1 mn 的存在，所以若两个数相乘得到的结果是整数，那么它们中至少有一个是整数， 对于本题而言，由于 x2-1 y+1 × y2-1 x+1 =（x-1）×（y-1）为整数， 因此他们中至少有一个是整数， 又∵在（i）中知 x2-1 y+1 与 y2-1 x+1 要么同为整数，要么同为分数， 因此可得出结论： x2-1 y+1 与 y2-1 x+1 都是整数．

据专家权威分析，试题“x，y为正整数，且两个分数之和x2-1y+1+y2-1x+1也是整数，求证：这..”主要考查你对  整式的加减乘除混合运算  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

整式的加减乘除混合运算

考点名称：整式的加减乘除混合运算

• 加法、减法、乘法和除法，统称为四则运算。
  其中，加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。
  注意运算顺序，先做乘方，再做乘除，最做加减运算，如果有同类项，就合并同类项，要求结果必须是最简形式。

• 基本运算顺序：
  只有一级运算时，从左到右计算；
  有两级运算时，先乘除,后加减。
  有括号时，先算括号里的；
  有多层括号时，先算小括号里的。
  要是有平方，先算平方。
  在混合运算中，先算括号内的数，括号从小到大，然后从高级到低级。