题文

已知abc≠0，证明：四个数 (a+b+c)3 abc 、 (b-c-a)3 abc 、 (c-a-b)3 abc 、 (a-b-c)3 abc 中至少有一个不小于6．

题型：解答题  难度：中档

答案

因为 (a+b+c) 3 abc + (b-c-a) 3 abc + (c-a-b) 3 abc + (a-b-c) 3 abc = [(a+b+c) 3+(b-c-a) 3] abc + [(c-a-b) 3+(a-b-c) 3] abc = 2b(3a 2+b 2+3c 2+6ac) abc - 2b(3a 2+b 2+3c 2-6ac) abc = 24abc abc =24．① 若 (a+b+c) 3 abc ＜6， (b-c-a) 3 abc ＜6， (c-a-b) 3 abc ＜6， (a-b-c) 3 abc ＜6． 则它们的和必小于24，这与①矛盾， 故四个加数中至少有一个不小于6．

据专家权威分析，试题“已知abc≠0，证明：四个数(a+b+c)3abc、(b-c-a)3abc、(c-a-b)3abc、..”主要考查你对  分式的加减乘除混合运算及分式的化简  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

分式的加减乘除混合运算及分式的化简

考点名称：分式的加减乘除混合运算及分式的化简

• 分式的加减乘除混合运算：
  分式的混合运算应先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。也可以把除法转化为乘法，再运用乘法运算。
  
  分式的化简：借助分式的基本性质，应用换元法、整体代入法等，通过约分和通分来达到简化分式的目的。
  

• 分式的混合运算：
  在解答分式的乘除法混合运算时，注意两点，就可以了：
  注意运算的顺序：按照从左到右的顺序依次计算；
  注意分式乘除法法则的灵活应用。