题文

阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式 -x4-x2+3 -x2+1 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为-x2+1，可设-x4-x2+3=（-x2+1）（x2+a）+b 则-x4-x2+3=（-x2+1）（x2+a）+b=-x4-ax2+x2+a+b=-x4-（a-1）x2+（a+b） ∵对应任意x，上述等式均成立，∴ a-1=1 a+b=3 ，∴a=2，b=1 ∴ -x4-x2+3 -x2+1 = (-x2+1)(x2+2)+1 -x2+1 = (-x2+1)(x2+2) -x2+1 + 1 -x2+1 =x2+2+ 1 -x2+1 这样，分式 -x4-x2+3 -x2+1 被拆分成了一个整式x2+2与一个分式 1 -x2+1 的和． 解答： （1）将分式 -x4-6x2+8 -x2+1 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． （2）当x∈（-1，1），试说明 -x4-6x2+8 -x2+1 的最小值为8．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）由分母为-x2+1，可设-x4-6x2+8=（-x2+1）（x2+a）+b 则-x4-6x2+8=（-x2+1）（x2+a）+b=-x4-ax2+x2+a+b=-x4-（a-1）x2+（a+b） ∵对应任意x，上述等式均成立， ∴ a-1=6 a+b=8 ， ∴a=7，b=1， ∴ -x4-6x2+8 -x2+1 = (-x2+1)(x2+7)+1 -x2+1 = (-x2+1)(x2+7) -x2+1 + 1 -x2+1 =x2+7+ 1 -x2+1 这样，分式 -x4-6x2+8 -x2+1 被拆分成了一个整式x2+7与一个分式 1 -x2+1 的和． （2）由 -x4-6x2+8 -x2+1 =x2+7+ 1 -x2+1 知， 对于x2+7+ 1 -x2+1 ，当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8， 即 -x4-6x2+8 -x2+1 的最小值为8．

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分式的加减乘除混合运算及分式的化简

考点名称：分式的加减乘除混合运算及分式的化简

• 分式的加减乘除混合运算：
  分式的混合运算应先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。也可以把除法转化为乘法，再运用乘法运算。
  
  分式的化简：借助分式的基本性质，应用换元法、整体代入法等，通过约分和通分来达到简化分式的目的。
  

• 分式的混合运算：
  在解答分式的乘除法混合运算时，注意两点，就可以了：
  注意运算的顺序：按照从左到右的顺序依次计算；
  注意分式乘除法法则的灵活应用。