题文

已知在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y= m x 相交于点C、D，且点D的坐标为（1，6）． （1）如图1，当点C的横坐标为2时，求点C的坐标和 CD AB 的值； （2）如图2，当点A落在x轴负半轴时，过点C作x轴的垂线，垂足为E，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连接EF． ①判断△EFC的面积和△EFD的面积是否相等，并说明理由； ②当 CD AB =2时，求点C的坐标和tan∠OAB的值； （3）若tan∠OAB= 1 7 ，请直接写出 CD AB 的值（不必书写解题过程）

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵D（1，6）在y= m x 上， ∴m=6，即双曲线解析式是 y= 6 x ， 当C点横坐标为2时，纵坐标为3， ∴C（2，3）． 直线AB过点C（2，3），D（1，6），得 2k+b=3 k+b=6 ， 解得： k=-3 b=9 ， 故直线AB的解析式为y=-3x+9． ∴B（0，9），A（3，0）， ∴AB=3 10 ， ∵C（2，3），D（1，6）， ∴CD= 10 ∴ CD AB = 1 3 ； （2）①设C（a，b），则ab=6， ∵S△EFC= 1 2 （-a）（-b）= 1 2 ab=3，而S△EFD= 1 2 ×1×6=3， ∴S△EFC=S△EFD； ②∵S△EFC=S△EFD，且两三角形同底， ∴两三角形的高相同， ∴EF∥CD， ∵DF∥AE，BF∥CE， ∴四边形DFEA与四边形FBCE都是平行四边形， ∴CE=BF，∠FDB=∠EAC， 在△DFB与△AEC中， ∵ ∠DFB=∠AEC CE=BF ∠FDB=∠EAC ， ∴△DFB≌△AEC， ∴AC=BD， ∵ CD AB =2，设CD=2k，AB=k，DB= k 2 ， ∴ DB AB = 1 2 ， ∵∠DFB=∠AOB，∠DBF=ABO， ∴△DFB∽△AOB， ∴ DF AO = DB AB = BF BO = 1 2 ， ∵DF=1， ∴OA=2， ∵OF=6， ∴OB=4， ∴tan∠OAB= BO AO =2． ∵OA=2，OB=4， ∴A（-2，0），B（0，4）， ∴直线AB的解析式为y=2x+4， 联立反比例函数解析式和一次函数解析式可得 y=2x+4 y= 6 x ， 解得： x=-3 y=-2 ， x=1 y=6 ， ∴C（-3，-2）． （3）如图2，直线与双曲线过D点（1，6），带入双曲线方程6= m 1 ， 解得：m=6， 带入直线方程，6=k+b，b=6-k， 所以直线方程变为y=kx+6-k， ∵tan∠OAB= 1 7 ， ∴直线方程的斜率为 1 7 ，即k= 1 7 ， ∴b= 41 7 ， ∴直线方程为y= 1 7 x+ 41 7 ， ∴A的坐标为（-41，0），B（0， 41 7 ）， 再将直线方程带入双曲线方程有 6 x = 1 7 x+ 41 7 ，解得x=1或-42， 当x=-42，y=- 1 7 ， 过C做平行于x轴的直线，过D做平行于y的直线，两直线相交与M， ∴△AOB∽△CMD， ∴ CD AB = CM AO ， CM=1-（-42）=43，AO=41，所以 CD AB = 43 41 ． 如图1：∵tan∠OAB= 1 7 ， ∴直线方程的斜率为 1 7 ，即k=- 1 7 ， ∴b= 43 7 ， ∴直线方程为y=- 1 7 x+ 43 7 ， ∴A的坐标为（43，0），B（0， 43 7 ）， 再将直线方程带入双曲线方程有 6 x =- 1 7 x+ 43 7 ，解得x=1或42， 当x=42，y= 1 7 ， ∵△AOB∽△CPD， ∴ CD AB = CP AO ， CP=42-1=41，AO=43， ∴ CD AB = 41 43 ． 综上所述： CD AB 的值为 43 41 或 41 43 ．

据专家权威分析，试题“已知在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y=kx+b与x轴、y轴分..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。