题文

如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足 a+1 +(a+b+3)2=0，?ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y= k x 经过C、D两点． （1）求k的值； （2）点P在双曲线y= k x 上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标； （3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时， MN HT 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵ a+1 +（a+b+3）2=0，且 a+1 ≥0，（a+b+3）2≥0， ∴ a+1=0 a+b+3=0 ， 解得： a=-1 b=-2 ， ∴A（-1，0），B（0，-2）， ∵E为AD中点， ∴xD=1， 设D（1，t）， 又∵DC∥AB， ∴C（2，t-2）， ∴t=2t-4， ∴t=4， ∴k=4； （2）∵由（1）知k=4， ∴反比例函数的解析式为y= 4 x ， ∵点P在双曲线y= k x 上，点Q在y轴上， ∴设Q（0，y），P（x， 4 x ）， ①当AB为边时： 如图1所示：若ABPQ为平行四边形，则 -1+x 2 =0，解得x=1，此时P1（1，4），Q1（0，6）； 如图2所示；若ABQP为平行四边形，则 -1 2 = x 2 ，解得x=-1，此时P2（-1，-4），Q2（0，-6）； ②如图3所示；当AB为对角线时：AP=BQ，且AP∥BQ； ∴ -1 2 = x 2 ，解得x=-1， ∴P3（-1，-4），Q3（0，2）； 故P1（1，4），Q1（0，6）；P2（-1，-4），Q2（0，-6）；P3（-1，-4），Q3（0，2）； （3）连NH、NT、NF， ∵MN是线段HT的垂直平分线， ∴NT=NH， ∵四边形AFBH是正方形， ∴∠ABF=∠ABH， 在△BFN与△BHN中， ∵ BF=BH ∠ABF=∠ABH BN=BN ， ∴△BFN≌△BHN， ∴NF=NH=NT， ∴∠NTF=∠NFT=∠AHN， 四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF=180°，而∠NTF=∠NFT=∠AHN， 所以，∠ATN+∠AHN=180°，所以，四边形ATNH内角和为360°， 所以∠TNH=360°-180°-90°=90°． ∴MN= 1 2 HT， ∴ MN HT = 1 2 ．

据专家权威分析，试题“如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足a+1+(a+b+3)2=0，?AB..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。