题文

有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下： 第1次把它等分成4个小正方形，第2次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形，…，依此操作下去． （1）通过观察和猜想，将第3次、第4次和第n次划分图中得到的正方形总个数（m）填入表中． 次数（n） 第1次 第2次 第3次 第4次 … 第n次 正方形总个数（m） （2）请你推断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）根据题干分析可得：第一次划分，得出5个正方形，可以写成1×4+1； 第2次划分，根据图形得出共有9个正方形；可以写成2×4+1； 第3次划分，可得出13个正方形，可以写成3×4+1； 第4次划分，可得出17个正方形，可以写成4×4+1； 依题意得：第n次划分后，图中共有4n+1个正方形；由此即可完成表格如下： 次数（n） 第1次 第2次 第3次 第4次 … 第n次 正方形总个数（m） 5 9 13 17 4n+1 （2）因为第n次划分后，图中共有4n+1个正方形， 所以可得4n+1=103，则n= 51 2 ，方程没有整数解，所以不能得到103个正方形．

据专家权威分析，试题“有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下：第1..”主要考查你对  找规律  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

找规律

考点名称：找规律

• 学习目标：
  1、通过观察、实验、猜测、推理等活动发现图形的排列规律。
  2、培养初步的观察、推理能力。

• 知识点拨：
  在日常生活中，我们经常会碰到许多按一定顺序排列的数（或图形）。只要我们从不同的角度去分析研究，善于观察、分析、总结，就能发现规律，找到解决问题的方法。
  找规律填数关键是根据已知的数找出数与数之间的规律。看相邻两数的倍数关系、差是常用的观察方法。
  寻找数列的规律，通常从两个方面来考虑：
  （1）寻找各项与项数间的关系；
  （2）考虑相邻项之间的关系，然后，再总结出一般的规律。