题文

如图所示，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C。 （1）求A、B、C三点的坐标； （2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积； （3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG垂直x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）令y=0，得x2-1=0， 解得x=士1， 令x=0，得y= -1， ∴A（1，0），B（-1，0），C（0，-1）； （2）∵OA=OB=OC=1， ∴∠BAC=∠ACO=∠BC0=45°， ∵AP∥CB， ∴∠PAB=45°， 过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形， 令OE =a，则PE=a+1， ∴P（-a，a+1）， ∵点P在抛物线y=x2-1上， ∴a+1=a2-1， 解得a1=2，a2=-1（不合题意，舍去）， ∴PE=3， ∴四边形ACBP的面积S=AB·OC+AB·PE =×2×1+×2×3=4； （3）假设存在， ∵∠PAB=∠BAC=45°， ∴PA⊥AC， ∵MG垂直x轴于点G， ∴∠MGA=∠PAC=90°， 在Rt△AOC中，OA=OC=1， ∴AC= 在Rt△PAE中，AE=PE=3， ∴AP=3 设M点的横坐标为m，则M（m，m2-1）， ①点M在y轴右侧时，则m>1， （i）当△AMG∽△PCA时，有， ∵AG=m-1，MG=m2-1， 即 解得m1=1（舍去），m2=-（舍去）， （ ii）当△MAC∽△PCA时有， 即 解得：m1=1（舍去），m2=2， ∴M（2，3）， ②点M在y轴左侧时，则m<-1， （i）当△AMG∽△PCA时有， ∵AG=-m+1，MG=m2-1， ∴ 解得m1=1（舍去），m2=-， ∴M（-，）， （ ii） 当△MAG∽△PCA时有， 即 解得：m1=1（舍去），m2=-4， ∴M（-4，15）， ∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似， M点的坐标为（2，3），（-，）或（-4，15）。

据专家权威分析，试题“如图所示，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C。（..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，二次函数的图像，相似三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用二次函数的图像相似三角形的判定

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。