题文

一开口向上的抛物线与x轴交于A（m-2，0），B（m+2，0）两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC。

（1）若m为常数，求抛物线的解析式； （2）若m为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎样的平移可以使顶点在坐标原点？ （3）设抛物线交y轴正半轴于D点，问：是否存在实数m，使得△BOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）设抛物线的解析式为： y=a（x- m+）（x-m -2）=d（x- m）2-4a， ∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB=4 ∴C（m，-2），代入得a=，∴解析式为：y=（x-m）2-2； （2）∵m为小于0的常数， ∴只需将抛物线向右平移-m个单位长度，再向上平移2个单位长度， 可以使抛物线y=（x-m）2-2的顶点在坐标原点； （3）由（1）得D（0，m2-2），设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形， ∵△BOD为直角三角形， ∴只能OD=OB，∴m2-2=|m+2|， 当m+2>0时，解得m=4或m=-2（舍）； 当m+2<0时，解得m=0（舍）或m=-2（舍）； 当m+2=0，即m=-2时，B、O、D三点重合（不合题意，舍） 综上所述：存在实数m=4，使得△BOD为等腰三角形。

据专家权威分析，试题“一开口向上的抛物线与x轴交于A（m-2，0），B（m+2，0）两点，记抛物线..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，平移  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用平移

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

  ③交点式：
  y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .
  已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）,我们可设y=a(x-x₁)(x-x₂),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
  
  由一般式变为交点式的步骤：
  二次函数
  ∵x₁+x₂=-b/a， x₁?x₂=c/a(由韦达定理得),
  ∴y=ax2+bx+c
  =a(x2+b/ax+c/a)
  =a[x2-(x₁+x₂)x+x₁?x₂]
  =a(x-x₁)(x-x₂).
  重要概念：
  a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；
  a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
  a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
  能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；
  能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；
  能熟练地运用二次函数解决实际问题。

• 二次函数的其他表达形式：
  ①牛顿插值公式:
  f(x)=f[x₀]+f[x₀,x₁](x-x₀)+f[x₀,x₁,x₂](x-x₀)(x-x₁)+...f[x₀,...x_n](x-x₀)...(x-_xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　
  二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
  
  双根式
  y=a(x-x₁)*(x-x2)
  若ax2+bx+c=0有两个实根x₁,x₂，则y=a(x-x₁)(x-x₂)此抛物线的对称轴为直线x=(x₁+x₂)/2。
  
  ③三点式
  已知二次函数上三个点，（x₁,f(x₁)）（x₂,f(x₂)）（x₃,f(x₃)）
  则f(x)=f(x₃)(x-x₁)(x-x₂)/(x₃-x₁)(x₃-x₂)+f(x₂)(x-x₁)*(x-x₃)/(x₂-x₁)(x₂-x₃)+f(x₁)(x-x₂)(x-x₃)/(x₁-x₂)(x₁-x₃)
  与X轴交点的情况
  当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。(x₁,0), (x₂,0);
  当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。