题文

如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点 D，且BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD 于点F．连接PM，设运动时间为ts（0＜t＜5）。 （1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？ （2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM=S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （4）连接PC，是否存在某一时刻，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）假设四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC， ∴AP=AM ∴10-2t=2t， 解得。 ∴当时，四边形PQCM是平行四边形；
（2）过P作PE⊥AC，交AC于E， ∵ PQ∥AC， ∴△PBQ∽△ABC， ∴△PBQ是等腰三角形， ∴PQ=PB=t， ∴， ∴FD=BD-BF=8-， 又∵MC=AC-AN=10-2t， ∴， ∴y与t之间的函数关系式为：；
（3）∵S△ABC=， ∴当时，， 即， 解得，（舍去）， ∴当时，S四边形PQCM=S△ABC；
（4）假设存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上，则MP=MC， 过M作MH⊥AB，交AB于H， 则△AHM∽△ADB， ∴， 又， ∴， ∴， 在Rt△HMP中，， 又∵， 由得， 解得：（舍去）， ∴当时，点M在线段PC的垂直平分线上。

据专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，且BD=8cm．点M从点A出发..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，平行四边形的判定，相似三角形的性质，垂直平分线的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用平行四边形的判定相似三角形的性质垂直平分线的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：