题文

将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（-3，0）。

（1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标； （3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（0，6）， ∴c=6 ∵抛物线的图象又经过点（-3，0）和（6，0） ∴ 解之得 故此抛物线的解析式为：。 （2）设点P的坐标为（m，0） 则PC=6-m，S△ABC=BC·AO=×9×6=27 ∵PE∥AB ∴△CEP∽△CAB ∴ 即 ∴S△CEP=（6-m）2 ∵S△APC=PC·AO=（6-m）×6=3（6-m） ∴S△APE= S△APC-S△CEP=3（6-m）-（6-m）2=-（m-）2+ 当m=时，S△APE有最大面积为；此时，点P的坐标为（，0）。
（3）如图，过G作GH⊥BC于点H，设点G的坐标为G（a，b），连接AG、GC ∵S梯形AOHG=a（b+6） S△CHG=（6-a）b ∴S四边形AOCG=a（b+6）+（6- a）b=3（a+b） ∵S△AGC= S四边形AOCG-S△AOC ∴ ∵点G（a，b）在抛物线的图像上 ∴ ∴ 化简，得4a2-24a+27=0 解之得， 故点G的坐标为（，）或（，）。

据专家权威分析，试题“将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，一元二次方程的解法，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用一元二次方程的解法相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：