题文

（本题满分12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E. 小题1:（1）求证：点E是边BC的中点；（4分） 小题2:（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直径AC的长度；（4分） 小题3:（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由. （4分）

题型：解答题  难度：偏易

答案

小题1:（1）证明：连接DO， ∵∠ACB=90°，AC为直径， ∴EC为⊙O的切线， 又∵ED也为⊙O的切线， ∴EC=ED.    （2分） 又∵∠EDO=90°， ∴∠BDE+∠ADO=90°， ∴∠BDE+∠A=90°， 又∵∠B+∠A=90° ∴∠BDE=∠B， ∴EB=ED. ∴EB=EC，即点E是边BC的中点.    小题2:（2）∵BC，BA分别是⊙O的切线和割线， ∴BC2=BD·BA， ∴（2EC）2= BD·BA，即BA·=36，∴BA=，   （6分） 在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC===. 小题3:（3）△ABC是等腰直角三角形.   （9分） 理由：∵四边形ODEC为正方形， ∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC， 又∵点E是边BC的中点， ∴BC=2OD=AC,  ∴△ABC是等腰直角三角形.     （12分）

（1）利用EC为⊙O的切线，ED也为⊙O的切线可求EC=ED，再求得EB=EC，EB=ED可知点E是边BC的中点； （2）解答此题需要运用圆切线和割线的性质和勾股定理求解； （3）判定△ABC是等腰直角三角形时要用到正方形的性质来求得相等的边． （1）证明：连接DO； ∵∠ACB=90°，AC为直径， ∴EC为⊙O的切线； 又∵ED也为⊙O的切线， ∴EC=ED， 又∵∠EDO=90°， ∴∠BDE+∠ADO=90°， ∴∠BDE+∠A=90° 又∵∠B+∠A=90°， ∴∠BDE=∠B， ∴EB=ED， ∴EB=EC，即点E是边BC的中点； （2）解：∵BC，BA分别是⊙O的切线和割线， ∴BC2=BD?BA， ∴（2EC）2=BD?BA，即BA?2=36， ∴BA=3， 在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC===； （3）解：△ABC是等腰直角三角形． 理由：∵四边形ODEC为正方形， ∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC， 又∵点E是边BC的中点， ∴BC=2OD=AC， ∴△ABC是等腰直角三角形．

据专家权威分析，试题“（本题满分12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB..”主要考查你对  点、线、面、体   等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

点、线、面、体

考点名称：点、线、面、体

• 点动成线，线动成面，面动成体：
  长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体。
  包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种。
  夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节日的焰火画出的曲线组成优美的图案，这些都给我们以线的形象，面和面相交的地方形成线。
  天上的星星、世界地图上的城市等都给我们以点的形象，线和线相交的地方是点。
  几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。

• 常见几何体的三视图：
  
  

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