题文

图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：______； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：______个； （3）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P的度数． （4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC， ∴∠A+∠D=∠C+∠B；                    （2分） （2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”； ②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”； ③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”； ④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”； ⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”； ⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个；                               （4分） （3）∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，① ∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②（6分） ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，（7分） ①+②得： ∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，（9分） 即2∠P=∠D+∠B， 又∵∠D=50度，∠B=40度， ∴2∠P=50°+40°， ∴∠P=45°；                        （4）关系：2∠P=∠D+∠B．    由∠D+∠1+∠2=∠B+∠3+∠4① 由∠ONC=∠B+∠4=∠P+∠2，②  ①+②得： ∠D+2∠B+2∠1+2∠3=∠B+2∠3+2∠P+2∠1， ∠D+2∠B=2∠P+∠B， 即2∠P=∠D+∠B．

据专家权威分析，试题“图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之..”主要考查你对  三角形的内角和定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内角和定理

考点名称：三角形的内角和定理

• 三角形的内角和定理及推论：
  三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
  推论：
  （1）直角三角形的两个锐角互余。
  （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
  （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。