题文

如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有k张．其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为b、宽为a的长方形，C型卡片是边长为b的正方形．从其中取若干张卡片，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分）． 尝试操作：若k=10，请选取适当的卡片拼成一个边长为（2a+b）的正方形，画出示意图． 思考解释：若k=20， ①共取出50张卡片，取出的这些卡片能否拼成一个正方形？请简要说明理由； ②可以拼成______种不同的正方形． 拓展应用：上述A、B、C型的卡片各若干张（足够多），已知：a=2b，现共取出2500张卡片，拼成一个正方形，求可以拼成的正方形中面积最大值．（用含a的代数式表示）．

题型：解答题  难度：中档

答案

尝试操作：如图 思考解释： ①假设存在这样的正方形，不妨设这个正方形的边长为（xa+yb），则这个正方形的面积为（xa+yb）2=x2a2+2xyab+y2b2， 即此时需要x2张A卡片，2xy张B卡片，y2张C卡片，因此总共需要（x2+2xy+y2）张卡片，即（x+y）2张卡片．那么根据题意，（x+y）2=50，因此不存在这样的x、y满足题意，因此不能从其中取出50张卡片拼成正方形． ②13； 对本题给出方法如下： 法一：枚举法如（a+2b）2、（a+3b）2； 法二：由①知，令m=（x+y）2=x2+2xy+y2，则m为一个完全平方数，且满足 4≤m≤60 x2≤20 2xy≤20 y2≤20 ， 1°m=4时，x+y=2， x=1 y=1 1种； 2°m=9时，x+y=3， x=1 y=2 x=2 y=1 2种； 3°m=16时，x+y=4， x=1 y=3 x=2 y=2 x=3 y=1 3种； 4°m=25时，x+y=5， x=1 y=4 x=2 y=3 x=3 y=2 x=4 y=1 4种； 5°m=36时，x+y=6， x=2 y=4 x=3 y=3 x=4 y=2 3种； 6°m=49时，x+y=7， 0种 共13种． 拓展应用： （x+y）2=2500，x+y=50，y=50-x， 边长为：xa+yb=xa+ a 2 （50-x）=（25+ x 2 ）a， 25+ x 2 随x增大而增大，所以当x=49时最大． 最大面积为：（49a+b）2=（99b）2=（ 99a 2 ）2．

据专家权威分析，试题“如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有k张．其中A型卡..”主要考查你对  整式的加减乘除混合运算  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

整式的加减乘除混合运算

考点名称：整式的加减乘除混合运算

• 加法、减法、乘法和除法，统称为四则运算。
  其中，加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。
  注意运算顺序，先做乘方，再做乘除，最做加减运算，如果有同类项，就合并同类项，要求结果必须是最简形式。

• 基本运算顺序：
  只有一级运算时，从左到右计算；
  有两级运算时，先乘除,后加减。
  有括号时，先算括号里的；
  有多层括号时，先算小括号里的。
  要是有平方，先算平方。
  在混合运算中，先算括号内的数，括号从小到大，然后从高级到低级。