题文

对于正数x，规定f（x）= x2 1+x2 ，如f（1）= 1 1+1 = 1 2 （1）计算f（2）=______；f（ 1 2 ）=______；f（2）+f（ 1 2 ）=______．f（3）+f（ 1 3 ）=______ （2）猜想f（x）+f( 1 x )=______；请予以证明． （3）现在你会计算f( 1 2011 )+f( 1 2010 )+f( 1 2009 )+f( 1 2008 )+f( 1 2007 )+…f（ 1 3 ）+f（ 1 2 ）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）+f（2008）+f（2009）+f（2010）+f（2011）的值了吗，写出你的计算过程．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵f（x）= x2 1+x2 ， ∴f（2）= 22 1+22 = 4 5 ， f（ 1 2 ）= ( 1 2 )2 1+( 1 2 )2 = 1 5 ， f（2）+f（ 1 2 ）= 4 5 + 1 5 =1 f（3）+f（ 1 3 ）= 32 1+32 + ( 1 3 )2 1+( 1 3 )2 = 9 10 + 1 10 =1； （2）：猜想f（x）+f( 1 x )=1， 证明如下：∵f（x）= x2 1+x2 ， ∴ f( 1 x )= ( 1 x )2 1+( 1 x )2 = 1 x2 1+ 1 x2 = 1 x2 x2+1 x2 = 1 x2+1 ， ∴f（x）+f( 1 x )= x2 1+x2 + 1 x2+1 =1； （3）f( 1 2011 )+f( 1 2010 )+f( 1 2009 )+f( 1 2008 )+f( 1 2007 )+…f（ 1 3 ）+f（ 1 2 ）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）+f（2008）+f（2009）+f（2010）+f（2011） =f( 1 2011 )+f（2011）+f( 1 2010 )+f（2010）+…+f（ 1 2 ）+f（2）+f（1） =1+1+…+1+ 1 2 =2010 1 2 ． 故答案为： 4 5 ， 1 5 ，1，1，1．

据专家权威分析，试题“对于正数x，规定f（x）=x21+x2，如f（1）=11+1=12（1）计算f（2）=______..”主要考查你对  分式的加减乘除混合运算及分式的化简  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

分式的加减乘除混合运算及分式的化简

考点名称：分式的加减乘除混合运算及分式的化简

• 分式的加减乘除混合运算：
  分式的混合运算应先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。也可以把除法转化为乘法，再运用乘法运算。
  
  分式的化简：借助分式的基本性质，应用换元法、整体代入法等，通过约分和通分来达到简化分式的目的。
  

• 分式的混合运算：
  在解答分式的乘除法混合运算时，注意两点，就可以了：
  注意运算的顺序：按照从左到右的顺序依次计算；
  注意分式乘除法法则的灵活应用。