题文

如图1，已知双曲线y1= k x (k＞0)与直线y2=k'x交于A，B两点，点A在第一象限．试解答下列问题： （1）若点A的坐标为（4，2），则点B的坐标为______；当x满足：______时，y1＞y2； （2）过原点O作另一条直线l，交双曲线y= k x (k＞0)于P，Q两点，点P在第一象限，如图2所示． ①四边形APBQ一定是______； ②若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积； ③设点A、P的横坐标分别为m、n，四边形APBQ可能是矩形吗？若可能，求m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）因为正比例函数与反比例都关于原点成中心对称，所以B点的坐标为B（-4，-2）； 由两个函数都经过点A（4，2），可知双曲线的解析式为y1= 8 x ，直线的解析式为y2= 1 2 x， 双曲线在每一象限y随x的增大而减小，直线y随x的增大而增大， 所以当x＜-4或0＜x＜4时，y1＞y2． （2）①∵正比例函数与反比例函数都关于原点成中心对称， ∴OA=OB，OP=OQ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可知APBQ一定是平行四边形． ②∵A点的坐标是（3，1） ∴双曲线为y= 3 x ， 所以P点坐标为（1，3）， 过A作x轴的垂线CD交x轴于C，可得直角梯形OPDC，过P作PD⊥DC，垂足为D， 用直角梯形的面积减去直角三角形的面积可得三角形POA的面积为4，再用4×4得四边形APBQ为16． ③∵当mn=k时，此时A（m，n），P（n，m）， ∴OA=OP，对角线相等且互相平分的四边形是矩形， ∴四边形APBQ是矩形．

据专家权威分析，试题“如图1，已知双曲线y1=kx(k＞0)与直线y2=k'x交于A，B两点，点A在第..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。