题文

如图，直线经过A（1，0），B（0，1）两点，点P是双曲线y= 1 2x （x＞0）上任意一点，PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N．PM与直线AB交于点E，PN的延长线与直线AB交于点F． （1）求证：AF?BE=1； （2）若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：过点E、F分别作y轴、x轴的垂线，垂足为D、C， 则△AOB，△FCA，△DBE为等腰直角三角形， 设P（x0，y0），则FC=y0，DE=x0，AF= 2 y0，BE= 2 x0， ∴AF?BE= 2 y0? 2 x0=2x0y0， 又y0= 1 2x0 ， 即2x0y0=1， ∴AF?BE=1； （2）平行于AB的直线l的解析式为y=-x+b，设l与双曲线的唯一公共点Q坐标为（x，y）， 联立 y=-x+b y= 1 2x ，得2x2-2bx+1=0， 由△=4b2-8=0，得b= 2 （- 2 舍去）， ∴x= 2 2 ，y= 2 2 ， 即Q点的坐标为（ 2 2 ， 2 2 ）．

据专家权威分析，试题“如图，直线经过A（1，0），B（0，1）两点，点P是双曲线y=12x（x＞0）上任..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。