题文

已知：关于x的两个方程x2+（m+1）x+m-5=0…①与mx2+（n-1）x+m-4=0…②方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根． （1）求证方程②的两根符号相同； （2）设方程②的两根分别为α、β，若α：β=1：3，且n为整数，求m的最小整数值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵x2+（m+1）x+m-5=0， ∴△＞0，即△=（m+2）2-4（m-5）=m2+2m+1-4m+20＞0， m2-2m+21＞0① -(m+1)＜0② m-5＞0③ ， 由②得m＞-1由③得m＞5， ∴m＞5， ∴ m-4 m ＞0， ∴方程②有两个同号实数根； （2）∵α、β分别为方程mx2+（n-1）x+m-4=0的两个根，且α：β=1：3， ∴α+β=4α= 1-n m ，α= 1-n 4m ， ∴α?β= 3(1-n)2 16m2 = m-4 m ， ∴ 3(1-n)2=16m2-64m (n-1)2-4m2+16m≥0 ， （n-1）2= 16m2-64m 3 ，4m2-16m≥0， ∴m≥4， ∵△=（n-1）2-4m（m-4）≥0，3α2= m-4 m ． ∵ m＞5 m-4≥0 m＞0 ， ∴m的最小整数值为6．

据专家权威分析，试题“已知：关于x的两个方程x2+（m+1）x+m-5=0…①与mx2+（n-1）x+m-4=0…②方程..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0