题文

已知：关于x的一元二次方程x2+（n-2m）x+m2-mn=0①。 （1）求证：方程①有两个实数根； （2）若m-n-1=0，求证方程①有一个实数根为1。 （3）在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a，当x=2时，关于m 的函数y1=nx+am与y2=x2+a（n-2m）x+m2-mn的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线l与y1、 y2的图象分别交于点C、D，当l沿AB由点A平移到点B时，求这个过程中线段CD的最大值。

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）△=（n-2m）2-4（m2-mn）=n2 ∵n2≥0， ∴△≥0， ∴方程①有两个实数根； （2）由m-n-1=0，得m-n=1， 当x=1时， 等号左边=1+n-2m+m2-mn=1+n-2m+m（m-n）=1+n-2m+m=1+n-m=0， 等号右边=0， ∴左边=右边， ∴x=1是方程①的一个实数根；
（3）解：由求根公式，得x= ∴x=m或x-=m-n， ∵m-n-10， ∴m-n=1，n=m-1， ∴a=m， 当x=2时，y1=2n+m2=2（m-1）+ m2=m2+2m-2， y2=22+2m（n-m-m）+m（m-n）= 4+2m（-l-m）+m=-2m2-m+ 4， 如图，当l沿AB由点A平移到点B 时， CD=y2-y1=3m2-3m+6=-3（m+）2+ 由y1=y2，得m2+2m-2=-2m2-m+4， 解得m=-2或m=1 ∴mA=-2，mB=1 -2<-<1， ∴当m=-时，CD取得最大值。

据专家权威分析，试题“已知：关于x的一元二次方程x2+（n-2m）x+m2-mn=0①。（1）求证：方程①有..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，一元二次方程的解法，平移  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用一元二次方程的解法平移

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

  ③交点式：
  y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .
  已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）,我们可设y=a(x-x₁)(x-x₂),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
  
  由一般式变为交点式的步骤：
  二次函数
  ∵x₁+x₂=-b/a， x₁?x₂=c/a(由韦达定理得),
  ∴y=ax2+bx+c
  =a(x2+b/ax+c/a)
  =a[x2-(x₁+x₂)x+x₁?x₂]
  =a(x-x₁)(x-x₂).
  重要概念：
  a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；
  a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
  a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
  能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；
  能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；
  能熟练地运用二次函数解决实际问题。

• 二次函数的其他表达形式：
  ①牛顿插值公式:
  f(x)=f[x₀]+f[x₀,x₁](x-x₀)+f[x₀,x₁,x₂](x-x₀)(x-x₁)+...f[x₀,...x_n](x-x₀)...(x-_xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　
  二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
  
  双根式
  y=a(x-x₁)*(x-x2)
  若ax2+bx+c=0有两个实根x₁,x₂，则y=a(x-x