题文

如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上，直线CB的表达式为y=-，点A、D的坐标分别为（-4，0），（0，4），动点P自A点出发，在AB上匀速运行，动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为s（不能构成△OPQ的动点除外）。 （1）求出点B、C的坐标； （2）求s随t变化的函数关系式； （3）当t为何值时s有最大值？并求出最大值。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）把y=4代入y=，得x=1， ∴C点的坐标为（1，4）， 当y=0时，-=0， ∴x=4， ∴点B坐标为（4，0）；
（2）作CM⊥AB于M，则CM=4，BM=3， ∴BC==5， ∴sin∠ABC=， ① 当0＜t＜4时，作QN⊥OB于N， 则QN=BQ·sin∠ABC=t， ∴S=OP·QN=（4-t）×t =-（0＜t＜4）； ② 当4＜t≤5时，（如备用图1），连接QO，QP，作QN⊥OB于N， 同理可得QN=t， ∴S= =（4＜t≤5）； ③ 当5＜t≤6时，（如备用图2），连接QO，QP， S= =2t-8（5＜t≤6）， 综上所述，s随t变化的函数关系式为S=；
（3）①在0＜t＜4时，对于抛物线S =-， ∵-＜0， ∴有最大值， ∴当t==2时，S最大=； ②在4＜t≤5时，对于抛物线S=， 当t==2时，S最小=， ∴抛物线S=的顶点为（2，-）， ∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大， ∴当t=5时，S最大==2； ③在5＜t≤6时，对于直线S=2t-8， ∵2＞0， ∴S随t的增大而增大， ∴当t=6时，S最大=2×6-8=4， ∴综上所述，当t=6时，S取得最大值，最大值是4。

据专家权威分析，试题“如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，二次函数的最大值和最小值，勾股定理，解直角三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用二次函数的最大值和最小值勾股定理解直角三角形

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。