题文

已知a、b、c都是整数，且对一切实数x，（x-a）（x-2002）-2=（x-b）（x-c）都成立，则这样的有序数组（a，b，c）共有______组．

题型：填空题  难度：中档

答案

∵（x-a）（x-2002）-2=（x-b）（x-c）， ∴x2-（a+2002）x+2002a-2=（x+b）（x+c）， ∵对一切实数x，（x-a）（x-2002）-2=（x-b）（x-c）都成立， ∴b与c是方程x2-（a+2002）x+2002a-2=0①的两整数根， ∵a是整数， ∴△=（a+2002）2-4（2002a-2）=（a-2002）2+8是完全平方， 令（a-2002）2+8=n2，这里n为正整数，n＞|a-2002|． 于是有（n+a-2002）（n-a+2002）=8， n+a-2002=2 n-a+2002=4 或 n+a-2002=4 n-a+2002=2 ， 解得n=3，a=2001或2003； 从而方程①的两根为：[（a+2002）±3]． 当a=2001时，方程①的两根为2000，2003； 当a=2003时，方程①的两根为2001，2004．故 满足条件的有序组（a，b，c）共有如下4组： （2001，2000，2003），（2001，2003，2000），（2003，2001，21304），（2003，2004.2001）． 故答案为：4．

据专家权威分析，试题“已知a、b、c都是整数，且对一切实数x，（x-a）（x-2002）-2=（x-b）（x-..”主要考查你对  二元多次（二次以上）方程（组）  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二元多次（二次以上）方程（组）

考点名称：二元多次（二次以上）方程（组）

• 定义：二元二次方程组即至少有一个二元二次方程的方程组，另一个是不高于二次的二元整式方程
  二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。
  二元二次方程组的一般解法是代入法：
  在（1）中先将x看作常量，把（1）看作关于x的一元二次方程，用y表示x后，代入（2）中，得到关于y的方程。因为在解（1）的结果中，可能得到y是x的双值函数，所以可能得到两个方程，也可能得到无理方程，无理方程有理化后，最高可能得到四次方程，但仍有代数解。