题文

已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠AOC=30°，求∠DOE的度数； （2）在图1中，若∠AOC=a，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）； （3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置． ①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足：∠AOC-4∠AOF=2∠BOE+∠AOF， 试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）由已知得∠BOC=180°-∠AOC=150°， 又∠COD是直角，OE平分∠BOC， ∴∠DOE=∠COD- 1 2 ∠BOC=90°- 1 2 ×150°=15°； （2）由（1）∴∠DOE=∠COD- 1 2 ∠BOC=90°， ∴∠DOE=90°- 1 2 （180°-∠AOC）， ∴∠DOE= 1 2 ∠AOC= 1 2 α； （3）∠AOC=2∠DOE； 理由：∵∠COD是直角，OE平分∠BOC， ∴∠COE=∠BOE=90°-∠DOE， 则得∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2（90°-∠DOE）， 所以得：∠AOC=2∠DOE； ②4∠DOE-5∠AOF=180° 理由：设∠DOE=x，∠AOF=y， 左边=∠AOC-4∠AOF=2∠DOE-4∠AOF=2x-4y， 右边=2∠BOE+∠AOF=2（90-x）+y=180-2x+y， 所以，2x-4y=180-2x+y即4x-5y=180， 所以，4∠DOE-5∠AOF=180°．

据专家权威分析，试题“已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若..”主要考查你对  角平分线的定义   等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

角平分线的定义

考点名称：角平分线的定义

• 角的平分线的定义：
  一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

• 角平分线的性质：
  角平分线上的点，到角两边的距离相等
  定理：
  角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  逆定理：
  到角两边的距离相等的点在角平分线上。