题文

如图：∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E． （1）求证：∠E= 1 2 ∠A． （2）若BE、CE是△ABC两外角平分线且交于点E，则∠E与∠A又有什么关系？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：∵∠ACD=∠A+∠ABC， ∴∠2= 1 2 （∠A+∠ABC）． 又∵∠4=∠E+∠2， ∴∠E+∠2= 1 2 （∠A+∠ABC）． ∵BE平分∠ABC， ∴∠2= 1 2 ∠ABC， ∴ 1 2 ∠ABC+∠E= 1 2 （∠A+∠ABC）， ∴∠E= 1 2 ∠A； （2）如图2所示， ∵BE、CE是两外角的平分线， ∴∠2= 1 2 ∠CBD，∠4= 1 2 ∠BCF， 而∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC， ∴∠2= 1 2 （∠A+∠ACB），∠4= 1 2 （∠A+∠ABC）． ∵∠E+∠2+∠4=180°， ∴∠E+ 1 2 （∠A+∠ACB）+ 1 2 （∠A+∠ABC）=180°，即∠E+ 1 2 ∠A+ 1 2 （∠A+∠ACB+∠ABC）=180°． ∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°， ∴∠E+ 1 2 ∠A=90°．

据专家权威分析，试题“如图：∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点..”主要考查你对  三角形的内角和定理，三角形的外角性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内角和定理三角形的外角性质

考点名称：三角形的内角和定理

• 三角形的内角和定理及推论：
  三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
  推论：
  （1）直角三角形的两个锐角互余。
  （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
  （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。