题文

如图，已知AD是△ABC的角平分线（∠ACB＞∠B），EF⊥AD于P，交BC延长线于M， （1）如果∠ACB=90°，求证：∠M=∠1； （2）求证：∠M= 1 2 （∠ACB-∠B）．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠1=∠2， ∵EF⊥AD于P， ∴∠1+∠AEP=90°，∠APE=∠APF=90°， ∴∠AEP=∠AFP， ∵∠AFP=∠CFM， ∴∠CFM=∠AEP， ∵∠ACB=90°， ∴∠M+∠CFM=90°， ∴∠M+∠AEP=90°， ∴∠M=∠1； （2）证明：∵EF⊥AD，AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2，∠APE=∠APF=90°， 又∵∠AEF=180°-∠1-∠APE，∠AFE=180°-∠2-∠APF， ∴∠AEF=∠AFE， ∵∠CFM=∠AFE， ∴∠AEF=∠AFE=∠CFM， ∵∠AEF=∠B+∠M，∠MFC=∠ACB-∠M， ∴∠B+∠M=∠ACB-∠M，即∠M= 1 2 （∠ACB-∠B）．

据专家权威分析，试题“如图，已知AD是△ABC的角平分线（∠ACB＞∠B），EF⊥AD于P，交BC延长线于..”主要考查你对  三角形的内角和定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内角和定理

考点名称：三角形的内角和定理

• 三角形的内角和定理及推论：
  三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
  推论：
  （1）直角三角形的两个锐角互余。
  （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
  （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。