题文

如图，反比例函数y= k x （k＞0）与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，OA=2，OC=4，连接OD、OE、DE．记△OAD、△OCE的面积分别为S1、S2． （1）①点B坐标为______；②S1______S2（填“＞”、“＜”、“=”）； （2）当点D为线段AB的中点时，求k的值及点E坐标； （3）当S1+S2=2时，试判断△ODE的形状，并求△ODE的面积．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）①根据长方形OABC中，OA=2，OC=4， 则点B坐标为（4，2）， ②∵反比例函数y= k x （k＞0）与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点， 利用△OAD、△OCE的面积分别为S1= 1 2 AD?AO，S2= 1 2 ?CO?EC，xy=k，得出， S1= 1 2 AD?AO= 1 2 k，S2= 1 2 ?CO?EC= 1 2 k， ∴S1=S2； （2）当点D为AB中点时，AD=2， ∴D的坐标是（2，2）， 把D（2，2）代入y= k x 得： k=2×2=4， ∴y= 4 x ． ∵点B坐标为（4，2）， ∴E点横坐标为：4， ∴4×y=4， ∴y=1， ∴E点坐标为：（4，1）； （3）当S1+S2=2时，∵S1=S2， ∴S1=S2=1， ∵S1= 1 2 AD?AO= 1 2 AD×2=1， ∴AD=1， ∵S2= 1 2 ?CO?EC= 1 2 ×4×EC=1， ∴EC= 1 2 ， ∵OA=2，OC=4， ∴BD=4-1=3， BE=2- 1 2 = 3 2 ， ∴DO2=AO2+AD2=4+1=5， DE2=DB2+BE2=9+ 9 4 = 45 4 ， OE2=CO2+CE2=16+ 1 4 = 65 4 ， ∴DO2+DE2=OE2， ∴△ODE是直角三角形， ∵DO2=5， ∴DO= 5 ， ∵DE2= 45 4 ， ∴DE= 3 5 2 ， ∴△ODE的面积为： 1 2 ×DO×DE= 1 2 × 5 × 3 5 2 = 15 4 ．

据专家权威分析，试题“如图，反比例函数y=kx（k＞0）与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。