题文

已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y= k x （k＞0）上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m）．设△OPA的面积为s，且s=1+ n4 4 ． （1）当n=1时，求点A的坐标； （2）若OP=AP，求k的值； （3）设n是小于20的整数，且k≠ n4 2 ，求OP2的最小值．

题型：解答题  难度：中档

答案

过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ=n，OQ=m， （1）当n=1时，s= 5 4 ，（1分） ∴a= 2s n = 5 2 ．（3分） （2）解法一：∵OP=AP，PA⊥OP， ∴△OPA是等腰直角三角形．（4分） ∴m=n= a 2 ．（5分） ∴1+ n4 4 = 1 2 ?an． 即n4-4n2+4=0，（6分） ∴k2-4k+4=0， ∴k=2．（7分） 解法二：∵OP=AP，PA⊥OP， ∴△OPA是等腰直角三角形．（4分） ∴m=n．（5分） 设△OPQ的面积为s1 则：s1= s 2 ∴ 1 2 ?mn= 1 2 （1+ n4 4 ）， 即：n4-4n2+4=0，（6分） ∴k2-4k+4=0， ∴k=2．（7分） （3）解法一：∵PA⊥OP，PQ⊥OA， ∴△OPQ∽△OAP． 设：△OPQ的面积为s1，则 s1 s = PO2 AO2 （8分） 即： 1 2 k 1+ n4 4 = n2+ k2 n2 4(1+ n4 4 )2 n2 化简得： 2n4+2k2-kn4-4k=0（9分） （k-2）（2k-n4）=0， ∴k=2或k= n4 2 （舍去），（10分） ∴当n是小于20的整数时，k=2． ∵OP2=n2+m2=n2+ k2 n2 又m＞0，k=2， ∴n是大于0且小于20的整数． 当n=1时，OP2=5， 当n=2时，OP2=5， 当n=3时，OP2=32+ 4 32 =9+ 4 9 = 85 9 ，（11分） 当n是大于3且小于20的整数时， 即当n=4、5、6…19时，OP2的值分别是： 42+ 4 42 、52+ 4 52 、62+ 4 62 …192+ 4 192 ， ∵192+ 4 192 ＞182+ 4 182 ＞32+ 4 32 ＞5，（12分） ∴OP2的最小值是5．（13分）

据专家权威分析，试题“已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y=kx（k＞0）上的点，过点P作..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。