题文

如图，反比例函数y= k x (x＞0)的图象经过边长为3的正方形OABC的顶点B，点P（m，n）为该函数图象上的一动点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S（即图中阴影部分的面积）． （1）求k的值； （2）当m=4时，求n和S的值； （3）求S关于m的函数解析式．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）由题意可知点B的坐标为：（3，3），将其代入y= k x 中，得： 3= k 3 ， 解得：k=9； （2）由（1）知反比例函数的解析式为y= 9 x ，把（4，n）代入，得n= 9 4 ， 如图1， 则S=S矩形BCFN+S矩形AEPN=3×（3- 9 4 ）+（4-3）× 9 4 =4.5； （3）分两种情况： ∵点P（m，n）为该函数y= 9 x 图象上的一动点， ∴n= 9 m ， 如图2， 当0＜m＜3时，S=S矩形PFCN+S矩形BNEA =PF?FC+AB?BN =m（ 9 m -3）+3×（3-m） =18-6m， 如图1，当m＞3时，S=S矩形BCFN+S矩形AEPN =BC?BN+PE?AE =3×（3- 9 m ）+ 9 m （m-3） =18- 54 m ．

据专家权威分析，试题“如图，反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过边长为3的正方形OABC的顶点..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。