题文

已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点P（2，3），点D是正比例函数图象上的一点，过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C和点Q，DC、DQ分别交反比例函数的图象于点F和点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比例函数的图象于点E． （1）当点D的纵坐标为9时，求：点E、F的坐标． （2）当点D在线段OP的延长线上运动时，试猜想AE与DF的数量关系，并证明你的猜想．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）设正比例函数与反比例函数的解析式分别为y=k1x，y= k2 x ，把P（2，3）分别代入得k1= 3 2 ，k2=6， ∴正比例函数与反比例函数的解析式分别为y= 3 2 x，y= 6 x ， 又∵点D的纵坐标为9， ∴对于y= 3 2 x，令y=9，得9= 3 2 x，解得x=6， ∴D点坐标为（6，9）， ∵DC⊥x轴，DQ⊥y轴， ∴A点的纵坐标为9，点F的横坐标为6， ∵点A与点F在反比例y= 6 x 的图象上， ∴把y=9代入y= 6 x 得x= 2 3 ，把x=6代入y= 6 x 得y=1， ∴A点坐标为（ 2 3 ，9），F点坐标为（6，1）， 又∵AB⊥x轴， ∴点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为 2 3 ， 而点E在直线y= 3 2 x上，把x= 2 3 代入y= 3 2 x得y=1， ∴E点坐标为（ 2 3 ，1）； （2）AE与DF相等．理由如下： 设D点坐标为（a， 3 2 a）， 则A点的纵坐标为 3 2 a，点F的横坐标为a， 把y= 3 2 a代入y= 6 x 得x= 4 a ，把x=a代入y= 6 x 得y= 6 a ， ∴A点坐标为（ 4 a ， 3 2 a），F点坐标为（a， 6 a ）， ∴DF= 3 2 a- 6 a ； 又∵点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为 4 a ， 而点E在直线y= 3 2 x上，把x= 4 a 代入y= 3 2 x得y= 6 a ， ∴E点坐标为（ 4 a ， 6 a ） ∴AE= 3 2 a- 6 a ， ∴AE=DF．

据专家权威分析，试题“已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点P（2，3）..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。